Извечные загадки науки глазами дилетанта

Раздел 3. Есть ли решение у теоремы Ферма?

 

«Десятерица характеризует космос как полное

тождество заложенного внутри него первообраза

и материальной телесности космоса»

А.Ф. Лосев

 

 

       Вот уже три с половиной столетия умы многих математиков заняты решением теоремы Ферма. (Пьер Ферма – (1601-1665), французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел.) Время от времени появляются сообщения о том, что теорема решена, затем они опровергаются, и остаётся неясным, так это или нет. Более того, появляются сомнения относительно её разрешимости вообще. В самом деле, если столько времени лучшие умы не могли её решить, то сомнения естественны.

 

       Я – не математик; я историк по образованию, хотя и с некоторой склонностью к философским обобщениям. Вот эта склонность часто направляет моё внимание на предметы, которые прямо не относятся к сфере моей профессиональной деятельности, как это имеет место и в данном случае. Хотя, надо сказать, что я не совсем чужд математике. Мало того, что математика была моим любимым предметом в школе, я имею ещё одно специальное образование, прямо связанное с математикой. В молодые годы я был офицером-артиллеристом, а как известно, артиллерийская наука целиком зиждется на математике. Недаром в училище мы изучали высшую математику, включая дифференциальное и интегральное исчисление. Но это так, к слову.

 

       Теорема Ферма, признаюсь честно, никогда не вызывала у меня интереса. Со школьной скамьи я помню только общие разговоры о существовании таковой: о теореме говорили с некоторым придыханием как о чём-то необыкновенном, чуть ли вообще недоступном для человеческого ума. Привлекла же она моё внимание совсем недавно, притом совершенно случайно. Я смотрел по телевизору какой-то фильм; один из героев произнёс мечтательно, что вот хорошо бы решить теорему Ферма, получить за это Нобелевскую премию, ну и всё такое прочее. Насчёт Нобелевской премии герой, кажется, несколько преувеличил: насколько мне известно, по некоторым, до конца невыясненным, хотя и принципиальным, соображениям, имевшимся у создателя этой премии, математики были исключены из числа номинантов.

 

       Как бы то ни было, слова героя фильма разбудили во мне минутное любопытство, и я решил посмотреть, что представляет из себя эта знаменитая теорема. Недолго думая, я полез в энциклопедию и обнаружил в ней следующее краткое, но вполне исчерпывающее объяснение её сути. Вот оно:

 

       «Теорема Ферма – утверждение теории чисел, согласно которому уравнение Xn + Yn = Zn при n>2 не имеет положительных решений. Справедливость теоремы Ферма доказана для ряда показателей n, но в общем виде остаётся недоказанной.»

 

       Вот и всё. Правда, к сказанному энциклопедия присовокупляет, что в общем виде доказательство теоремы было представлено в 1995 году английским математиком Э.Уайлзом, но само доказательство, к сожалению, не приводится. Впрочем, может быть, это даже и лучше – по крайней мере нет никакого давления со стороны других точек зрения.

 

       Итак, отметим, прежде всего, что теорема прямо утверждает, что при n>2 уравнение не имеет положительных решений. Другими словами, общий ответ Ферма дал, но только не привёл доказательств верности этого ответа для всех случаев n>2. Второе, что бросилось мне в глаза как дилетанту, — это какая-то внешняя легковесность теоремы. По сравнению с ней бином Ньютона выглядит эдаким грандиозным математическим храмом. Я даже подумал, что Ферма тут хитрил: он знал ответ; допускаю даже, что прежде чем получить его, он сам изрядно помучился и, поняв в конце концов простоту ответа, решил посмеяться над всеми будущими математиками, задав им свою головоломку. Здесь он не ошибся: 350 лет математики разных школ и направлений усердно демонстрировали своё профессиональное бессилие.

 

       Должен сразу заметить, что теорема Ферма, если её, на мой дилетантский взгляд, квалифицировать по заслугам, вовсе не теорема: она именно математическая головоломка, своего рода загадка для любознательных умов. Она, на мой взгляд, требует для своего решения не каких-то необыкновенных математических познаний со всем их сложным аппаратом, а внимания и логического мышления. В принципе, ей место в какой-нибудь популярной книге, вроде «Занимательной математики» Перельмана.

 

       Ещё одно соображение: думается, что сам факт, что теорема так долго не была решена, говорит о том, что за неё брались именно математики-профессионалы – их профессионализм скорее всего и служил здесь главной помехой в разгадке теоремы. Такое в науке, да и не только в ней, случается довольно-таки часто.

 

       Это первое. Затем, мне кажется (хотя я могу и ошибаться), что при разгадке головоломки Ферма главное внимание концентрировалось на решении теоремы при значениях n>2, тогда как её решение – и это будет показано ниже – содержится именно при значении n=2.

 

       Я тоже начал с того же конца. Промучившись два-три вечера, возводя в разные степени разные значения X и Y, я скоро понял, что этот путь совершенно бесперспективен: можно потратить на него всю жизнь и ничего не добиться. Тогда я вернулся к уравнению при значении n=2. Ещё со школьной скамьи в моей памяти сохранился самый простой его вариант: 32 + 42 = 52 или 9 + 16 = 25. Я стал размышлять над этим уравнением и довольно быстро обнаружил, что оно имеет своё закономерное продолжение.

 

       Давайте рассмотрим особенность уравнений при n=2. Начнём с наименьших показателей X и Y, при которых рассматриваемое уравнение справедливо: 32 + 42 = 52 или 9 + 16 = 25.

 

       Продлим этот ряд дальше, каждый раз удваивая значения X, Y и Z:

62 + 82 = 102 или 36 + 64 = 100

122 + 162 = 202 или 144 + 256 = 400

242 + 322 = 402 или 576 + 1024 = 1600 и т.д.

 

       Другими словами, в случае n=2 просматривается совершенно чёткая закономерность, в рамках которой данный ряд уравнений может быть продлён до бесконечности. Главным условием для этого является то, чтобы сумма X, Y и Z всегда была кратной 12, что достигается путём последовательного удвоения предыдущих показателей X, Y, Z.

 

       Вот в этой закономерности, собственно, и содержится, по моему разумению, решение предложенной Ферма головоломки.

 

       Но продолжим. Итак, после того, как обнаружилась закономерность в повторении положительного решения уравнения при n=2, всё сразу встало на свои места, и осталось только сделать окончательный вывод, который, на мой взгляд (опять-таки дилетантский), и содержит искомое решение теоремы Ферма в общем виде.

 

       Вывод же этот заключается в следующем: в бесконечном ряду положительных чисел первые десять цифр от единицы до десяти содержат в себе в принципе все свойства всего ряда, поскольку весь последующий ряд чисел представляет собой многократное повторение «десятерицы». Это же, в свою очередь, означает, что если уравнение имеет положительное решение в пределах первых десяти чисел, то его положительное решение должно закономерно и последовательно повторяться в последующих рядах. И наоборот: если уравнение не находит своего положительного решения в этих пределах, то оно не может иметь такого решения и во всём ряду чисел.

 

       Отсюда естественным образом вытекает окончательный вывод: поскольку предложенное Ферма уравнение при n>2 не находит своего положительного решения в пределах первых десяти цифр числового ряда, то оно не имеет, и не может иметь такого решения и в пределах всего ряда простых чисел.

 

       Сам же факт, что уравнение при n>2 не имеет положительного решения в пределах первой «десятки», легко подтверждается эмпирически.

 

       Вот, собственно, и всё доказательство. Лично мне странным здесь представляется то, что с XVII века, т.е. со времени жизни П. Ферма, эта логическая задача не была решена. Как я уже упоминал выше, по имеющимся сведениям, это было сделано английским математиком Э. Уайлзом. Однако, каким именно образом она была решена им, мне лично неизвестно. Каким бы, однако, ни было его решение, мне представляется, что соображения, представленные выше, доказывают или, если вам больше нравится, показывают, почему уравнение Xn + Yn = Zn при n>2 не имеет и не может в принципе иметь положительных решений. Но ведь это как раз и есть тот ответ, который требовалось получить.