Ещё раз о бароне Мюнхгаузене

4.1. Немного теории.

 

       В нашем мире всё движется, вращается, обменивается энергией и даже проявляет творческое начало… иногда. Если бы не было движения, этот мир был бы пуст и скучен. Всякий акт движения, после которого наблюдаемые объекты или их свойства меняются, люди условились называть событиями. События – как абстрактное понятие – необходимо людям также и потому, что необходимо выделять и определять конкретные действия и их последствия.

       Наш мир довольно сложен. Для того, чтобы произошло некое событие, необходимо влияние многих других событий или факторов. Этих факторов может быть десятки, сотни, а иногда тысячи и даже миллионы. Дабы не превращать естествознание в балаган, учёным понадобилось знать, насколько интересующее их событие возможно. Мера возможности для события называется вероятностью.

 

       Если кто успел заскучать, философия на этом закончилась. Теперь приступаем к математике. Кто не любил в школе математику, пусть тоже не пугается: я буду объяснять всё так, что будет понятно, просто и почти без формул.

       Как и всякая другая мера чего-либо, вероятность возникновения событий представляется в числовом выражении. Для её представления придумали простую и понятную шкалу от ноля до сотни процентов. Если событие не имеет шансов произойти при любых условиях, оно называется невероятным, поэтому его вероятность равна ноль процентов. И наоборот, если событие обязательно происходит при любых условиях, вероятность его равна ста процентам.

       Естественно, между этими двумя полюсами находятся вероятности практически всех событий в мире. Например, если в результате многочисленных экспериментов исследуемое событие происходит в семи случаях из десяти, тогда его вероятность равна 70%.

       Для удобства вычислений в математике к вероятностям событий применяется шкала от 0 до 1. Возвращаясь к предыдущему примеру, семь из десяти – это 7/10, т.е. 0,7. Далее мы будем пользоваться именно такой шкалой.

 

* * *

 

       На этот момент мы имеем необходимый понятийно-числовой аппарат, поэтому о вероятностях самое время рассказать кое-что очень интересное. Чтобы было действительно интересно, далее я всё буду показывать на примерах.

 

       Итак, включаем воображение и представляем чёрный ящик, в котором находятся 100 совершенно одинаковых шаров (по массе, объёму и на ощупь они совершенно одинаковые). При этом 50 из них красные, а 50 – синие. И все они тщательно перемешаны. Теперь закрываем глаза, запускаем руку в ящик и наугад (можно ещё для верности помешать шары рукой) вытаскиваем один шар. Как вы думаете, какова у нас вероятность вытащить красный шар?

       Практически все читатели хором воскликнут – 50% ! И будут правы. Но давайте здесь на секундочку остановимся и поймём, как получились эти 50%. Итак, всех шаров имеется 100, а красных – 50. Другими словами, вытащить красный шар у нас 50 шансов из 100, т.е. 50/100 или ровно 0,5.

       Ещё раз: при данных исходных условиях вероятность вытащить красный шар у нас равна 0,5 (или 50%). Это означает, что красный шар будет вытащен приблизительно один раз из двух попыток.

 

       Хорошо. Представим, что мы наконец вытащили красный шар. Отложим его в сторонку и теперь повторим эксперимент, но уже без этого красного шара.

 

       Какова вероятность вытащить красный шар теперь? Красных шаров осталось 49, а всех шаров – 99. Эта вероятность равна 49 из 99 или 49/99 или 0,494949… = 0,(49) – сорок девять сотых в периоде.

       Допустим, мы вытащили второй красный шар. В следующем, третьем эксперименте вероятность вытащить красный шар уже будет 48/98 = 0,48979591…

       Как мы видим, поскольку общее количество шаров достаточно большое, во всех трёх экспериментах вероятность вытащить красный шар приблизительно равна 0,5.

 

* * *

 

       Теперь, внимание, ключевой момент эксперимента, а может быть и всей моей работы.

 

       Возвратим красные шары в чёрный ящик и опять всё тщательно перемешаем. Имеем 100 шаров, из них 50 красных.

 

       Как вы думаете, какова вероятность вытянуть наугад три красных шара подряд?

 

* * *

 

       Прежде, чем приступать к решению этой простой задачки, я должен объяснить, что между событиями «вытащить один красный шар» и «вытащить три красных шара подряд» имеется довольно существенная разница. Первое событие называется простым событием, т.е. таким событием, которое не зависит от каких-либо манипуляций с шарами, поскольку во время, когда мы фиксируем это событие, больше ничего с шарами не происходит. Но вот второе событие – «вытянуть три красных шара подряд» – называется сложным событием, поскольку оно состоит из некоторой комбинации простых событий.

 

       Какова же эта комбинация? Для того, чтобы состоялось наше сложное событие, должны состояться все три простых события, т.е. сначала должен быть вытянут красный шар, после него ещё один красный шар, и после этого – ещё один красный шар. Если хотя бы один раз из трёх будет вытянут синий шар, сложное событие уже будет считаться несостоявшимся.

 

       Другими словами, «вытянуть три красных шара подряд» – это «вытянуть красный шар первый раз» И «вытянуть красный шар второй раз» И «вытянуть красный шар третий раз».

 

       Что такое «И»? Это – так называемое логическое умножение, применяемое в математической логике для случаев, когда нужно определить выражение одновременного выполнения некоторых условий (также называется конъюнкцией). Для случая условий, представленных в виде вероятностей некоторых событий, логическое умножение превращается в простое арифметическое умножение.

       Итак, исходя из ранее вычисленных вероятностей для простых событий, вероятность события «вытянуть три красных шара подряд» равна 0,5 х 0,(49) х 0,48979591 = 0,(12). Это немногим более 12%. Что означают эти 12%? Если вы попробуете 100 раз повторить эксперимент вытягивания наугад трёх шаров из чёрного ящика, то приблизительно 12 раз вам удастся вытянуть три красных шара подряд.

 

       Почему «приблизительно»? Дело в том, что теория вероятностей не гарантирует точного решения для каждого конкретного эксперимента, а может лишь предсказать значение, к которому это решение будет стремиться. Иначе говоря, чем большее количество раз вы будете проводить данный конкретный эксперимент, тем точнее среднее арифметическое значение этого результата будет приближаться к предвычисленному решению задачи с помощью теории вероятностей.

 

* * *

 

       Если читатель мне не верит (а верить сейчас никому нельзя) и под рукой как-то нет чёрного ящика с сотней окрашенных в два цвета шаров, тогда я предлагаю убедиться в действенности теории вероятностей с помощью реквизита, который есть у каждого человека – монетки. Как известно, при подбрасывании монетки довольно сложно учесть частоту её вращения, поэтому монетка является почти идеальным снарядом для получения случайного значения – орёл или решка. Очевидно, что орёл в среднем выпадает с вероятностью 0.5, точно как и решка.

       Какова вероятность того, что орёл выпадет три раза подряд? Теория вероятностей утверждает, что эта вероятность равна 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,125, т.е. 12.5%. Кто не верит, может сто раз провести эксперимент из трёх подбрасываний. Три орла у вас выпадут приблизительно в 12 или 13 случаях из ста. Чем больше будет проведено таких экспериментов, тем ближе значение результата будет подбираться к значению 12.5%.

 

       Это не магия, это работает теория вероятности. Она так же объективна и действие её так же неотвратимо, как у любого другого физического закона. Но только для невоодушевлённых объектов! Живые существа этим законам подчиняются хуже, а некоторые – не подчиняются вообще. Однако, эта тема не для данной работы. Мы будем рассматривать теорию вероятностей только в приложении к техническим системам, которые могут наделяться разумом разве что в низкобюджетных голливудских фильмах…

 

       Защитники НАСА на форумах старательно изображали непонимание того, почему вероятности простых событий нужно именно умножать. Перефразируя классика мирового футбольного цеха, я всегда с пониманием относился к их непониманию, но без внимания этот интересный вопрос все-таки не оставлю. Давайте специально для них сделаем небольшое эмпирическое доказательство для примера с монеткой.

       Что такое 0,125? Это 1/8 от единицы, не правда ли? Действительно, какими могут быть эти три простых события? Давайте перечислим все возможные варианты для эксперимента из трех подбрасываний монетки:

1. Орёл – орёл – орёл.
2. Орёл – орёл – решка.
3. Орёл – решка – решка.
4. Решка – решка – решка.
5. Решка – решка – орёл.
6. Решка – орёл – орёл.
7. Решка – орёл – решка.
8. Орёл – решка – орёл.

       Больше вариантов нет. Каждый из этих восьми вариантов имеет совершенно равную вероятность произойти в любом эксперименте.  Это означает, что вероятность выпадения орла трижды подряд – ровно 1/8. И эта же 1/8 получается в результате действия 0,5 х 0,5 х 0,5, где 0,5 – вероятность выпадения орла в каждом отдельном простом событии – одиночном подбрасывании монетки.

       Видите, как просто? Не видят этого только защитники НАСА, поскольку за свою слепоту (а также за тот шум, которые они поднимают при попытке обсудить этот вопрос на любом форуме) они получают зарплату.

       Теория вероятностей для того и придумана, чтобы каждый раз не рассматривать все возможные варианты, которые подчас и представить-то невозможно из-за неимоверно большого числа факторов, влияющих на искомую вероятность некоторого события. Вместо этого существуют простые и понятные формулы, которые являются большим секретом полишинеля не только для уровня среднего образования, но даже и для абсолютного большинства вузов в мире. Это конечно неспроста, но об этом мы поговорим в пятом разделе моей работы.

 

* * *

 

       А какова вероятность того, что орёл выпадет подряд четыре раза? Она равна 0.54 = 0,0625, т.е. 6.25%. Отсюда имеем очевидный вывод: увеличение количества простых событий, от которых зависит составное (сложное) событие, уменьшает вероятность этого составного события. В связи с этим свойством нашего с вами мира приведу два примера.

 

       Пример 1. Народная мудрость гласит, что играть в азартные игры с государством нельзя. Тем не менее, всегда находится большое количество наивных граждан, нарушающих этот неписаный закон. Государство зарабатывает огромные деньги на всевозможных лотереях, которые работают благодаря законам теории вероятностей. Это сейчас на телевидении проводятся телешоу, где в качестве приправы к лотереям задницами крутят полуголые девицы. А во времена Союза была простая и понятная лотерея «6 из 45». Трудящиеся покупали билеты, где нужно было отметить шесть чисел из ряда от 1 до 45. Казалось бы, в такой лотерее выиграть очень вероятно – 6/45 ! Но нет: оказывается, вероятность угадать 6 чисел из 45 – это угадать число из 45 возможных И угадать число из 44 возможных И т.д. – равна 1/45 х 1/44 х 1/43 х 1/42 х 1/41 х 1/40 = 0,00000000017, т.е. приблизительно 0,000000017%. Это означает, что если будет куплено миллиард таких лотерейных билетов, то выиграть имеют шанс лишь 17 из них. Или один из 59 миллионов!

       Конечно же, в каждом таком розыгрыше не участвовало и миллиона билетов, но выигрыши время от времени происходили и широко рекламировались. Теория вероятностей здесь, конечно, была ни при чём. Просто государству нужно было как-то показать, что выиграть возможно. Также информация о фантастических по тем временам выигрышах постоянно циркулировала в обществе в качестве слухов, которые запускать соответствующие службы были большие мастаки. Например, некоторой части сексотов время от времени вменялось в обязанность рассказывать ближним к месту и не к месту о том, что мол его очень хороший знакомый купил лотерейный билет и вдруг выиграл «Запорожец». Влияло ли это на объёмы продаж лотерейных билетов? – Безусловно!

       То же самое происходит и теперь, только с новыми информационными «приправами».

 

       Пример 2. В технике вероятность безотказной работы некоторого узла или механизма на протяжении указанного времени называется надёжностью. Таким образом, если лампочка в среднем может непрерывно светить 900 часов из 1000, то говорят о том, что её надёжность составляет 90% (или 0,9).

       Давайте соединим последовательно в электрическую цепь десять таких лампочек. Какова надёжность такой электроцепи за 1000 часов?

       Поскольку лампочки соединены последовательно, тогда в случае перегорания любой из десяти лампочек цепь разрывается и гаснут все лампочки. Другими словами, для того, чтобы электрическая цепь работала, необходимо, чтобы «работала первая лампочка» И «работала вторая лампочка» И «работала третья лампочка» И так далее… Общая вероятность безотказной работы такой технической системы за указанное время (или её надёжность) будет составлять 0,910 = 0,3487 или немногим менее 35%. Это означает, что в среднем лишь одна из трёх таких гирлянд сможет светить на протяжении 1000 часов, а две другие выйдут из строя раньше.

 

* * *

 

       Их этих примеров следуют два важных следствия, которым неукоснительно следуют все конструкторы технических систем:

       - чем техника проще, тем она надёжнее;

       - последовательное соединение или выполнение действий уменьшает надежность.

 

       Чтобы достичь большей надёжности технических систем, наиболее сложные или критически важные подсистемы дублируются. Например, дублируются гидравлика управления закрылками и элеронами пассажирских самолётов, системы связи и датчики на АЭС, системы управления перекачкой нефти и газа, контент сайтов и важные данные на серверах, системы энергоснабжения и связи банков, больниц, военных объектов и многое, многое другое. Совершенно не важно, в какой области работает техническая система – законы повышения её надёжности универсальны.

       Если на войне командованию нужно было с высокой вероятностью доставить некую депешу, параллельно посылали больше одного солдата с копиями депеши – это повышало вероятность успешного выполнения задания. Если вы хотите иметь надёжный автомобиль, то покупаете «Мерседес», ведь он собран из очень качественных (надёжных) деталей, которые должны работать одновременно максимально возможное время.

 

       И наоборот.

       Если вы хотите иметь наглядный пример уменьшения надёжности, посмотрите, как дети играют в «сломанный телефон»: чем больше участников передаёт сообщение, тем больше вероятность его искажения. Прошу заметить: это происходит именно при последовательной передаче сообщения.

       Чем длиннее цепочка последовательных соединений или технических этапов, тем меньше надёжность системы в целом.